Векторы

Обозначения: external image f281.JPG
Длина вектора, модуль (абсолютная величина): external image f282.JPG
external image f283.JPG

Сумма векторов:
external image f285.JPG (правило треугольника) (рис. 1.22);
external image f286.JPG (правило параллелограмма) (рис. 1.23);
external image f287.JPG (правило многоугольника);
external image f288.JPG (правило параллелепипеда, external image f289.JPG - диагональ).
Разность векторов: external image f290.JPG
Формула вычитания векторов: external image f291.JPG (рис. 1.24).
Признак коллинеарности векторов: external image f292.JPG


Законы векторной алгебры
Для любых векторов external image f293.JPG и любых чисел external image f294.JPG справедливы равенства external image f295.JPG external image f296.JPG external image f297.JPG external image f298.JPG external image f299.JPG external image f300.JPG external image f301.JPG


Координатные формулы
Пусть external image f302.JPG - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; external image f303.JPG - координаты вектора external image f304.JPG; external image f305.JPG - координаты вектора external image f306.JPG; external image f307.JPG external image f308.JPG или external image f309.JPG external image f310.JPG Тогда: external image f311.JPG external image f312.JPG external image f313.JPG external image f314.JPG
Если external image f315.JPG - начало вектора, external image f316.JPG - его конец, то external image f317.JPG external image f318.JPG

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов external image f303.JPG и external image f306.JPG: external image f319.JPG



где external image f320.JPG - угол между векторами external image f304.JPG и external image f306.JPG; если external image f321.JPG либо external image f322.JPG, то external image f323.JPG

Из определения скалярного произведения следует, что external image f324.JPG где, например, external image f325.JPG есть величина проекции вектора external image f306.JPG на направление вектора external image f306.JPG.

Скалярный квадрат вектора: external image f326.JPG

Свойства скалярного произведения: external image f327.JPG external image f328.JPG external image f329.JPG external image f330.JPG external image f331.JPG external image f332.JPG external image f333.JPG



Скалярное произведение в координатах

Если external image f307.JPG external image f308.JPG то external image f334.JPG external image f335.JPG



Угол между векторами

external image f336.JPG external image f337.JPG



Векторное произведение

Векторное произведение векторов external image f304.JPG и external image f306.JPG - вектор, обозначаемый external image f338.JPG external image f339.JPG или external image f340.JPG для когорого:

1) external image f341.JPG (external image f320.JPG - угол между векторами external image f304.JPG и external image f306.JPG, external image f342.JPG);

2) external image f343.JPG

3) тройка external image f304.JPG, external image f306.JPG, external image f339.JPG - правая.

Свойства векторного произведения:external image f345.JPG external image f346.JPG external image f347.JPG external image f348.JPG external image f349.JPG external image f350.JPG если external image f351.JPG, то external image f352.JPG равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах external image f304.JPG и external image f306.JPG.
екторное произведение в координатах
Если external image f307.JPG external image f308.JPG, то external image f354.JPG
или external image f355.JPG
или external image f356.JPG
В частности external image f357.JPG external image f358.JPG external image f359.JPG external image f360.JPG external image f361.JPG external image f362.JPG external image f363.JPG


Некоторые соотношения
external image f364.JPG (двойное векторное произведение),
external image f365.JPG (тождество Якоби),
external image f366.JPG external image f367.JPG


Смешанное произведение трех векторов
Определение: external image f368.JPG
Свойства смешанного произведения: external image f369.JPG external image f370.JPG external image f371.JPG external image f372.JPG - компланарны.
Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах external image f304.JPG, external image f306.JPG и external image f373.JPG, то external image f374.JPG если тройка external image f375.JPG правая, и external image f376.JPG если тройка левая.
Смешанное произведение в координатах
Если external image f307.JPG external image f308.JPG external image f377.JPG то
external image f378.JPG


Проекции вектора на ось
Обозначения: external image f379.JPG - проекции вектора external image f304.JPG на ось l; external image f380.JPG - величина проекции вектора external image f304.JPG на ось l.
Свойства проекций: external image f381.JPG external image f382.JPG external image f383.JPG external image f384.JPG
external image f397.JPG
Составляющие (компоненты) вектора external image f385.JPG (рис. 1.25):
external image f386.JPG
external image f387.JPG external image f388.JPG external image f389.JPG
Координаты вектора external image f385.JPG: external image f390.JPG external image f391.JPG external image f392.JPG (external image f393.JPG - углы, образуемые вектором external image f385.JPG с положительными направленями осей координат Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат).
external image f394.JPG, external image f395.JPG, external image f396.JPG называются направляющими косинусами вектора external image f398.JPG external image f399.JPG external image f400.JPG external image f401.JPG где external image f402.JPG external image f403.JPG Если external image f404.JPG - единичный вектор в направлении external image f385.JPG, то external image f405.JPG


Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/preobr3.php
Помощь студентам в высшей математике http://www.mathelp.net/MA3.htm