Теория

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

События - тот результат, который в результате эксперимента может произойти или не произойти.

Достоверное событие - такое событие, о котором точно известно, что оно произойдет или уже произошло.
Невозможное событие - такое событие, которое в принципе не может произойти.

Вероятность (вероятностная мера) - численная мера возможности наступления некоторого события.


С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Согласно определению П.Лапласа, вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,


где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1.


Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 <= Р (A) < 1.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем
Р (А) = m / n.
Получено классическое определение вероятности.



Примеры классического определения вероятности:



Источники информации:

Математическое бюро. Примеры по теории вероятности http://www.matburo.ru/ex_subject.php?p=tv
Высшая математика.Помощь студентам http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv4.htm
Учебно-научный центр дистанционного образования http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page12.html


Полезные ресурсы:

Сайт для студентов и абитуриентов с материалами по математике, экономике, политологии, философии и др. http://www.nuru.ru/teorver.htm
Электронный вариант курса лекций по теории вероятностей МГУ http://www.physchem.msu.ru/doc/KursLektcijTeoriiVeroyat.pdf