Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства.
Регулярный элемент - такой элемент а, если
external image d4d49bead125261b226eaa867bd016ce.pngх , у ∈ G равенства а Т х = а Т у и х Т а = у Т а
влекут х = у.
Симметричные элементы. Пусть Т есть бинарная операция на G, обладающая нейтральным элементом е. Говорят, что элемент ā ∈ G симметричен элементу a ∈ G, если ā Т а = е. В этом случае элемент а называется симметризуемым. Симметричный элемент ā называют также обратным или противоположным.
Таблицы. Конечный группоид удобно задавать таблицей. Каждому столбцу и каждой строке таблицы соответствует элемент множества G. Первый элемент пары берется из соответствующего столбца, второй - из соответствующей строки, на пересечении получаем композицию этих элементов. Например, E = {a, b, c}.
Зададим операцию Т таблицей:
Т
a
b
c
a
c
a
b
b
c
c
b
c
a
b
c

Определение.Множество G с бинарной операцией
external image img2.pngназывается группой, если:
1) эта операция ассоциативна, т.е.
external image img3.pngдля любых external image img4.png ;
2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент external image img5.png , что external image img6.png для любого external image img7.png ;
3) для любого элемента external image img7.png существует такой элемент external image img8.png , что external image img9.png .
Определение. Группа external image img1.png называется абелевой, если для любых двух элементов external image img11.png справедливо равенство external image img12.png

Замечание. 1) Элемент external image img8.png из пункта external image img13.png называется обратным или противоположным к элементу external image img14.png и обозначается external image img15.png .
2) Легко проверяется единственность external image img5.png , обратного элемента и ассоциативность умножения любого числа множителей.
external image img13.png Для любого элемента external image img14.png определяется его степень external image img16.png , полагая

external image img17.png


Верны равенства: external image img18.png , external image img19.png .
external image img20.png Уравнение вида external image img21.png , где external image img11.png , всегда имеет единственное решение external image img22.png .
external image img23.png Уравнение вида external image img24.png , где external image img11.png , всегда имеет единственное решение external image img25.png .
Замечание. Группа с операцией external image img26.png часто называется мультипликативной, а сама операция опускается, т.е. external image img27.png .
Определение. Аддитивная группа -- эта группа с операцией external image img28.png , нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через external image img29.png .
Определение. Полугруппой относительно операции Т называется группоид относительно Т, если операция Т ассоциативна.
Определение. Подмножество external image img30.png группы external image img1.png называется подгруппой, если
1)множество external image img31.png содержит единицу external image img32.png ;
2) из условия external image img33.png следует, что external image img34.png ;
3) из условий external image img35.png следует, что external image img36.png .
Определение. Пусть external image img64.png и external image img65.png -- две группы с операциями external image img66.png и external image img67.png соответственно. Отображение external image img68.png называется гомоморфизмом, если external image img69.png для любых элементов external image img70.png . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Замечание. Если external image img71.png является изоморфизмом, то external image img72.png тоже.
Свойства гомоморфизма.
external image img37.png Единица external image img73.png группы external image img64.png при гомоморфизме external image img71.png переходит в единицу external image img74.png группы external image img65.png , т.е. external image img75.png .
external image img43.png Образ обратного элемента external image img15.png группы external image img64.png при гомоморфизме external image img71.png является обратным к образу, т.е. external image img76.png .
external image img13.png Образ external image img77.png гомоморфизма external image img71.png является подгруппой в external image img65.png . Докажем это утверждение, т.е. проверим выполнение условий из определения подгруппы.
external image img78.png Образ external image img79.png содержит единицу external image img80.png .
external image img81.png Если external image img82.png , то external image img83.png .
external image img84.png Если external image img85.png , то external image img86.png . Таким образом, все условия выполнены, и external image img79.png действительно подгруппа external image img65.png .
Теорема [Теорема Кэли.] Всякая группа external image img1.png порядка external image img49.png изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок external image img50.png .




Используемые источники:
http://www.math4you.ru
http://ru.wikipedia.org
Турецкий В.Я. Математика и информатика.


Полезные ресурсы:
Сайт о науке http://elementy.ru/lib/430153
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/group2.php