Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, равен 1.

1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: φ(x) dx = ψ(y) dy.

2. Функция f (x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f (λx, λy) = .jpgf (x, y).
Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, где P (x, y) dx и Q (x, y) dy - однородные функции одинакового измерения.
Решение:
  1. Привести к виду: y' = f (x, y), где f (x, y) - однородная функция нулевого измерения.
  2. С помощью замены y = ux, где u - новая неизвестная функция, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: .jpgили .jpg.
Методы решения:
  • Метод вариации произвольных постоянных:
  1. Приравнять правую часть к нулю: .jpg и решить уравнение с разделяющимися переменными.
  2. Подставить вместо С некую функцию от x и найти решение уравнения.
  • Применение подстановки y = uv, где u и v - функции от x, 1) получим уравнение: [u' + p (x) u] v + v' u = q (x). 2) Приравнять выражение в квадратных скобках к нулю и найти u (x). 3) Из [u' + p (x) u] v + v' u = q (x) найти v. 4) Из y = uv найти y.

4. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида: P dx + Q dy = 0, если .jpg, где P = P (x, y) и Q = Q (x, y) - непрерывные функции.
Уравнение такого вида тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (x, y), такая, что dU = P dx + Q dy, то есть .jpgи .jpg.

5. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида: .jpg, где .jpg- непрерывные функции.
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: .jpg, где .jpg- линейно независимая система решений.
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: .jpg, где y* - частное решение неоднородного уравнения.

5.1 Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: .jpg, где .jpg- некоторые постоянные.
Решение уравнения будем искать в виде: .jpg.
Уравнение .jpgназывается характеристическим уравнением.
Если корни характеристического уравнения действительны, то общее решение уравнения запишется в виде: .jpg.
Если корни характеристического уравнения - комплексные числа: .jpg, где .jpg, тогда решени имеет следующий вид: .jpg.

5.2 Линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: .jpg, где .jpg- некоторые постоянные.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .jpg.
Если .jpg, где .jpg- многочлен m-й степени, то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно искать в виде: .jpg, где .jpg- многочлен m-й степени с неопределёнными коэффициентами; s = 0, если γ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня.
Если .jpg, где .jpg- многочлены степени .jpgи .jpg, тогда частное решение можно искать в виде: .jpg, где ; s = 0, если γ + iβ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня..jpg

Примеры решения некоторых задач можно найти здесь:


Используемый источник:
Учебное пособие под ред. В. И. Ермакова "Сборник задач по высшей математике для экономистов"

Полезные ресурсы:
Высшая математика для заочников и не только http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html
Сайт самостоятельной студенческой работы http://webmath.exponenta.ru/s/c/function/content/chapter3/section5/paragraph2/theory.html


Create your own Playlist on MentorMob!