Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы external image image002.gif части прикладной математической статистики.


Из закона больших чисел следует, что external image image017.gif при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х1), что записывают так:

external image image019.gif

Здесь знак external image image021.gif означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Напомним, что последовательность bn имеет предел b при external image image023.gif, если для любого сколь угодно малого external image image025.gif существует число external image image027.gif такое, что при любом external image image029.gif справедливо утверждение: external image image031.gif. При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число external image image033.gif и утверждение external image image031.gif предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее external image image035.gif.

Сходимость частот к вероятностям. Уже отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математики Якоб Бернулли (1654-1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.
Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в kнезависимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом external image image033.gif справедливо неравенство
external image image038.gif


Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р. Мизесу (1883-1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний.




Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что

external image image040.gif

при всех р. Действительно,

external image image042.gif

Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать С = ¼. Тогда при любом р и фиксированном external image image004.gif правая часть неравенства (12) при возрастании k приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.


Powered by emaze