Закон+больших+чисел

Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы  части прикладной математической статистики.

Из закона больших чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к //М(Х1),// что записывают так:



Здесь знак означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Напомним, что последовательность //bn// имеет предел //b// при, если для любого сколь угодно малого существует число  такое, что при любом  справедливо утверждение:. При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число и утверждение  предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее.

Сходимость частот к вероятностям. Уже отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события //А// – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события //А// к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математики Якоб Бернулли (1654-1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова. //Теорема Бернулли.// Пусть //m// – число наступлений события //А// в //k//независимых (попарно) испытаниях, и //р// есть вероятность наступления события //А// в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р. Мизесу (1883-1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний.

Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что



при всех //р//. Действительно,



Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать //С// = ¼. Тогда при любом //р// и фиксированном правая часть неравенства (12) при возрастании //k// приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.

media type="custom" key="26263876" media type="custom" key="26263880"