Неопределенный+и+определенный+интегралы

= Неопределённый интеграл. =

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной дляF(x), т.е. . Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10:. Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим **Свойства первообразной.**
 * 1) Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image163.gif align="absmiddle"]]).
 * 2) Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

 **Неопределённый интеграл и его свойства.**  Определение. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением. Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
 * 1) [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image168.gif align="middle"]].
 * 2) [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image169.gif align="middle"]] (или [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image170.gif align="middle"]]).

Таблица неопределённых интегралов.

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то ; если x < 0, то. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Простейшие правила интегрирования.
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">1 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image171.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">11 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image172.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">2 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image173.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">12 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image174.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">3 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image175.gif]] ([[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image176.gif]]). || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">13 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image177.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">4 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image178.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">14 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image179.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">5 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image180.gif]]; [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image181.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">15 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image182.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">6 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image183.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">16 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image184.gif]] ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">7 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image185.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">17 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image186.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">8 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image187.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">18 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image188.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">9 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image189.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">19 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image190.gif]]. ||
 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">10 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image191.gif]]. || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">20 || <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image192.gif]]; [[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image193.gif]]. ||


 * 1) <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image202.gif align="top"]] ([[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image203.gif align="top"]])
 * 2) <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">[[image:http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/Image204.gif]]

=<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Определённый интеграл =

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0, x1], [x1 , x2], …, [xi-1 ,xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим. На каждом из отрезков [xi-1, xi] выберем произвольную точку и составим сумму. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Сумма <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;"> при <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [xi-1, xi], ни от выбора точек <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">, то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Кратко определение иногда записывают так:. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Если b=a, то ; еслиb<a, то.


 * <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Свойства определённого интеграла. **

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">1. Линейность. Если функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">При формулировании следующих свойств предполагаем, что b > a. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то.

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">**Вычисление определённого интеграла.**

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции, то. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Пример: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">.

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Полезные ресурсы: <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Высшая математика для заочников и не только [] <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Варианты курсовых заданий по неопределённому и определённому интегралу РГТУ в электронном виде []