Соответствия

При этом используются следующие **определения **: • каждый элемент b∈ B, соответствующий элементу a ∈ A, называется **образом** элемента a; множество всех образов элемента a ∈ A будем обозначать G(a) ; • каждый элемент a ∈ A, соответствующий элементу b∈ B, называется **прообразом** элемента b; множество всех прообразов элемента b∈ B ; • множество всех образов всех элементов a ∈ A, называется **множеством значений** соответствия G, которое будем обозначать E(G); • множество всех прообразов всех элементов b∈ B, называется **множеством определения** соответствия G, которое будем обозначать D(G). Основные **способы задания** соответствий:
 * способ перечисления пар
 * табличный способ
 * графический способ
 * словесный способ
 * аналитический способ.

 code Человек   может    соответствовать    профессии,   зарплата соответствовать должности,  наказание  -  преступлению, оценка - знаниям. Глядя на многочисленные примеры вокруг мы замечаем, что для определения конкретного   соответствия   надо   определить   два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также  определить  "пары  соответствий". Например, область определения  -  группа  ух-005, сдающая экзамен; область значений - отл, хор, уд, неуд - множество оценок. И множество пар Иванов -  отл,  Петров  -  хор,  Сидоров  - отл. А Хведоров - не явился. Вот вам и готовое соответствие. Соответствия обладают свойствами. 1.  В  данном  случае  соответствие  НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ, поскольку для Хведорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Хведоров - н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку "н/я" нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из    ведомости Хведорова, как  отчисленного,  то  это  соответствие  стало   бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ 2. Соответствие  ФУНКЦИОНАЛЬНО,  поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ. В данном  случае из-за Хведорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той  принципиальной,  что  здесь  аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые  об'екты. Кстати, не  всем математикам  нравится   такое   определение  функции,  хотя  оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность  к  множествам  с позиций некоторых других разделов математики. Если бы  за  один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ. То есть не было бы функцией. (Оно было  бы "многозначной [недетерминированной] функцией", но это уже другая математика). Да и в  жизни  так  не бывает. 3. Данное  соответствие НЕИН'ЕКТИВНО, поскольку отл получил более, чем  один  студент. Если бы  Сидоров,  из-за  фатальной предрасположенности к несчастьям, получил не отл, а уд (или неуд), то соответствие  было  бы  ИН'ЕКТИВНЫМ... Получение студентами олимпийских медалей  за  победу  в  беге  на  100 метров было бы примером ин'ективного соответствия. 4. Данное соответствие НЕСЮР'ЕКТИВНО, поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает "по  жизни"  СЮР'ЕКТИВНЫМ. Естественно, сюр'ективно в даный момент приобретение билетов на Витаса. 5. Соответствие,  которое  одновременно  ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО, ФУНКЦИОНАЛЬНО, ИН'ЕКТИВНО и СЮР'ЕКТИВНО  называется  БИЕКТИВНЫМ. Еще  его  называют  ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ,  но  так  звучит  менее красиво. Говорят, что  самый  убедительный  пример  биективного соответствия  головы   на   плечах. Возьмите множество  голов, множество плеч  и  убедитесь   во   всех   четырех   свойствах. Криминальные варианты не предлагать! Выделение соответствий  в  отдельную  категорию  предложили европейцы, а точнее французы, а еще точнее, Николя Бурбаки  (это французский    Козьма   Прутков,   состоявший   из   математиков- интеллектуалов). Американская школа считает соответствия частным случаем отношений. А у нас разговор про отношения отдельный - так легче разложить все по полочкам. Так что пришла пора  поговорить об отношениях. code Рассмотрим четыре отображения, представленные на рис.

Если между конечными множествами существует взаимнооднозначное соответствие, то легко доказать, что количество элементов в них одинаково, т. е. A = B. Взаимнооднозначные соответствия позволяют распространить понятие мощности на произвольные множества: два множества называются **равномощными**, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются **счетными**. Верны следующие **утверждения** для счетных множеств: 1) Объединение конечного числа счетных множеств счетно; 2) объединение счетного числа конечных множеств счетно; 3) объединение счетного числа счетных множеств счетно.

**Теорема Кантора.** Множество всех действительных чисел интервала ( 0,1) не является счетным. Мощность множества ( 0,1) называется «**континуум**», а все множества, имеющие такую мощность – **континуальными**.

//**Полезные ресурсы:**// @http://linux.nevod.ru/2001/dm/DM-04.php Сайт, посвящённый математике [] Сайт заочного дистанционного образования МГИУ []