Группы

влекут //**х = у**.// Зададим операцию Т таблицей:
 * Теория групп** — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые **группами**, и их свойства.
 * Регулярный элемент** - такой элемент //а//, если
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/d/4/d/d4d49bead125261b226eaa867bd016ce.png]]//х, у//** **//∈ G//** равенства **//а// Т //х = а// Т //у//** и **//х// Т //а = у// Т //а//**
 * Симметричные элементы.** Пусть Т есть бинарная операция на //**G**//, обладающая нейтральным элементом //е**.**// Говорят, что элемент **//ā// //∈ G// **симметричен элементу **//a//** //**∈ G**,// если **//ā// Т** //**а = е**.// В этом случае элемент //а// называется //симметризуемым.// Симметричный элемент //ā// называют также //обратным// или //противоположным//.
 * Таблицы.** Конечный группоид удобно задавать таблицей. Каждому столбцу и каждой строке таблицы соответствует элемент множества //**G**//. Первый элемент пары берется из соответствующего столбца, второй - из соответствующей строки, на пересечении получаем композицию этих элементов. Например, //E// = //{////a, b, c}.//
 * ~ Т ||~ a ||~ b ||~ c ||
 * ~ a ||= c ||= a ||= b ||
 * ~ b ||= c ||= c ||= b ||
 * ~ c ||= a ||= b ||= c ||

называется **//группой//**, если: 1) эта операция ассоциативна, т.е. для любых  ; 2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент, что  для любого  ; 3) для любого элемента существует такой элемент , что.
 * Определение.**Множество //**G**// с бинарной операцией
 * Определение.** Группа [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img1.png width="19" height="16" align="BOTTOM"]] называется //абелевой//, если для любых двух элементов [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img11.png width="70" height="34" align="MIDDLE"]] справедливо равенство [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img12.png width="90" height="16" align="BOTTOM"]]

2) Легко проверяется единственность, обратного элемента и ассоциативность умножения любого числа множителей. Для любого элемента  определяется его степень  , полагая
 * Замечание.** 1) Элемент [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img8.png width="13" height="16" align="BOTTOM"]] из пункта [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img13.png width="21" height="36" align="MIDDLE"]] называется //обратным или противоположным// к элементу [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img14.png width="15" height="15" align="BOTTOM"]] и обозначается [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img15.png width="34" height="18" align="BOTTOM"]].



Верны равенства:,. Уравнение вида, где  , всегда имеет единственное решение. Уравнение вида, где  , всегда имеет единственное решение. 1)множество содержит единицу  ; 2) из условия  следует, что  ; 3) из условий следует, что  . Единица  группы  при гомоморфизме  переходит в единицу  группы , т.е.  . Образ обратного элемента  группы  при гомоморфизме  является обратным к образу, т.е.  . Образ  гомоморфизма  является подгруппой в  . Докажем это утверждение, т.е. проверим выполнение условий из определения подгруппы. Образ  содержит единицу  . Если  , то  . Если  , то  . Таким образом, все условия выполнены, и  действительно подгруппа.
 * Замечание.** Группа с операцией [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img26.png width="36" height="18" align="BOTTOM"]] часто называется //мультипликативной//, а сама операция опускается, т.е. [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img27.png width="77" height="16" align="BOTTOM"]].
 * Определение.** //Аддитивная// группа -- эта группа с операцией [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img28.png width="45" height="34" align="MIDDLE"]], нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img29.png width="29" height="32" align="MIDDLE"]].
 * Определение.** //Полугруппой// относительно операции Т называется группоид относительно Т, если операция Т ассоциативна.
 * Определение.** Подмножество [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img30.png width="60" height="34" align="MIDDLE"]] группы [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img1.png width="19" height="16" align="BOTTOM"]] называется //подгруппой//, если
 * Определение.** Пусть [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img64.png width="27" height="34" align="MIDDLE"]] и [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img65.png width="27" height="34" align="MIDDLE"]] -- две группы с операциями [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img66.png width="14" height="17" align="BOTTOM"]] и [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img67.png width="14" height="17" align="BOTTOM"]] соответственно. Отображение [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img68.png width="102" height="34" align="MIDDLE"]] называется //гомоморфизмом//, если [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img69.png width="175" height="36" align="MIDDLE"]] для любых элементов [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img70.png width="78" height="34" align="MIDDLE"]] . Биективный гомоморфизм называется //изоморфизмом//.
 * Замечание.** Если [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img71.png width="17" height="32" align="MIDDLE"]] является изоморфизмом, то [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img72.png width="36" height="38" align="MIDDLE"]] тоже.
 * Свойства гомоморфизма.**
 * Теорема** [Теорема Кэли.] Всякая группа [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img1.png width="19" height="16" align="BOTTOM"]] порядка [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img49.png width="16" height="15" align="BOTTOM"]] изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок [[image:http://www.math4you.ru/i/page94/img50.png width="26" height="34" align="MIDDLE"]].

[] [|http://ru.wikipedia.org] Турецкий В.Я. **Математика и информатика.**
 * Используемые источники:**

Сайт о науке [] Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями []
 * //Полезные ресурсы://**