Отношения



**Способы задания отношений** При составлении отношений с числовыми множествами удобным инструментом их задания является **формула**. Например, пусть отношение Q задано следующим образом: Q = {(x,y)ÎR½ y = x2}, т. е. пара (х,у) для х и у, являющихся действительными числами, связана отношением y = x2. Для нечисловых множеств используется способ задания отношений **спис­ком**, т. е. перечислением всех пар элементов, для которых данное отношение выполняется. Например, пусть заданы два множества. А – множество видов транспорта, связывающих два населенных пункта А = {автобус, ж.-д. транспорт, речной транспорт}; В – стоимость проезда В = {20, 10, 7}. Тогда отношение Q = {(автобус, 20), (ж.-д. транспорт, 10), (речной транспорт, 7)} Ì А´В ставит в соответствие виду транспорта стоимость проезда на нем. Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = {a, b, c, d, e}. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1). Рис. 1. Координатная сетка Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y). На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению a= {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}. Рис. 2. Бинарное отношение a  Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании **ориентированных графов**. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношенияa дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения aизображен на рисунке 3. Рис. 3. Граф бинарного отношения Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется **матричный** способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X = {x1, x2, ...,xn} и определим матрицу отношения A = [aij] следующим образом:

Таким образом, матрица отношения a, представленного графом на рисунке 3, имеет вид

Перечислим ** основные свойства бинарных отношений, ** определенных на одном множестве. 1. ** Рефлексивность ** : формула // хРх // реализуется или имеет значение «истина» (например, отношение // х // £ // х // истинно для любых действительных чисел). 2. **Антирефлексивность**: формула //хРх// не реализуется или имеет значение «ложь» (например, отношение //х//<//х// ложно для любых действительных чисел). 3. **Симметричность**: из //хРу// Þ //уРх// (например, отношение //х = у// симметрично для любых действительных чисел). 4. **Антисимметричность**: если истинно //хРу// и //уРх//, то //х = у// (например, отношение //х// £ //у// антисимметрично для любых действительных чисел). 5. **Несимметричность**: если //хРу// истинно, то //уРх// ложно (например, отношение //х//Рассмотрим **основные типы бинарных отношений,** определенных на одном множестве. Бинарное отношение a на множестве X называется **отношением эквивалентности** на X, если a рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~,.  Отношение эквивалентности является обобщением отношения равенства. Отношение эквивалентности R разбивает множество M на непересекающиеся подмножества так, что любые элементы одного подмножества находятся в отношении R, а любые элементы разных подмножеств не находятся в отношении R. Данные подмножества называются **классами эквивалентности**, а их количество – **индексом разбиения**. Отношение эквивалентности лежит в основе всевозможных классификаций. При классификации некоторого множества в нем задают одно или несколько отношений эквивалентности и рассматривают классы эквивалентности, связанные с этими отношениями. При иерархической классификации все множество разлагается на классы эквивалентности, после чего каждый класс разлагается на классы эквивалентности по другому отношению и т. д. Такая классификация применяется, например, в биологии (царства живых существ, типы, классы, отряды, роды, виды). В математике иерархическая классификация используется, например, при классификации линий второго порядка. Другой вид классификации основан на том, что указывается несколько свойств (например форма, цвет, размер и т. д.), каждое из которых может принимать несколько значений (например, квадрат, круг, шестиугольник или красный зеленый, синий и т. д.). После этого каждый класс характеризуется значениями, принимаемыми на нем данными свойствами (например, зеленые маленькие квадраты). В библиотеках множество всех книг разбивают на книги по математике, физике, химии, истории и т. д. Далее книги по математике делят на книги по алгебре, геометрии, математическому анализу и т. д. В математике такой вид классификации используется, например, при классификации многоугольников, с одной стороны, по числу сторон, а с другой - по признаку правильности или неправильности. Бинарное отношение R на множестве M называется **отношением нестрогого порядка,** если оно • рефлексивно, • антисимметрично, • транзитивно. Примеры: 1) отношение ≤ на множестве действительных чисел; 2) отношение «быть не старше» на множестве людей. Бинарное отношение R на множестве M называется **отношением строгого порядка**, если оно • антирефлексивно, <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">• антисимметрично, <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">• транзитивно. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Примеры: <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">1) отношение < на множестве действительных чисел; <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">2) отношение «быть начальником» на множестве сотрудников организации. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Отношения строгого и нестрогого порядка называются **отношениями порядка**. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Элементы a,b∈ M называются **сравнимыми по отношению** порядка R, если aRb или bRa. Множество M называется **полностью упорядоченным множеством**, если любые два элемента в нем сравнимы по некоторому отношению порядка R. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Примеры: <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">1) множество действительных чисел по отношениям <,≤,=,≥,> ; <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">2) отношение «быть не старше» на множестве людей. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Множество M называется **частично упорядоченным множеством**, если в нем есть хотя бы два элемента, несравнимые по некоторому отношению порядка R. <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">Примеры: <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">1) множество комплексных чисел отношениям <,≤,≥,> ; <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">2) отношение «быть начальником» на множестве сотрудников организации.

Математические статьи [] Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Основные тезисы дискретной математики []
 * //Полезные ресурсы://**
 * //@http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-3-html/1.htm//**