Операции

Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому-же множеству. Функцией одного аргумента φ(x)=y, имеющая тип φ: M→M, называется унарной операцией. Примеры: · элементарные функции ех, log x, sin x и другие. · операция над множествами - дополнения ; · отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановка · оперпции над множествами: дополнения, обратное отношение R-1, составное отношение R(2)=R ○ R, транзитивное Rº и рефлексивное R* замыкания и др.

функция двух аргументов φ(x,y)=z имеющая тип φ:MxM→M, называется бинарной операцией. примеры бинарных операций: · арифметические операции:сложение, вычетание, умножение, деление, возведение в степень; · операции над множествами: пересечение, объединение, разность; · операции композиции функций, отображение, отношений и др. Если над элементами a,b?M выполяется операция φ, дающая результат z?M, то это записывается часто как a φ b=z

свойства бинарных операций: 1) **ассоциативность** (a φ b) φ c = a φ (b φ c) (арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции). 2) **коммутативность** a φ b = b φ a (сложение и умножение, пересечение и объединение- коммутативны; вычитание и деление, разность множеств, композиция перестановок и преобразований типа А → А конечного множества- некоммутативны) 3) **дистрибутивность слева** относительно операции ╨, если для любых a, b, c a φ (b ╨ c) = (a φ b) ╨ (a φ c)

и дистрибутивна справа относительно операции ╨, если для любых a, b, c (a ╨ b) φ c = (a φ c) ╨ (b φ c)

(операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычетания слева и справа, но не наоборот; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа).

Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на //M// называют **умноже́нием**, то её результат для элементов называют их **произведе́нием** и обозначают  или //x////y//. В этом случае нейтральный элемент, то есть элемент удовлетворяющий равенствам называется **едини́чным элеме́нтом** относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют **сложе́нием**, то образ пары элементов называют **су́ммой** и обозначают //x// + //y//. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют **нулевы́м элеме́нтом** и пишут

// **Полезные ресурсы:** // Сайт, посвященный психологике [] Сайт, где можно найти материалы по математике [|ru.math.wikia.com] Страничка на википедии с Бинарными операциями [|Wikipedia]