Прямая

//__Прямая на плоскости__.// **Определение.** Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют **общим уравнением прямой.** В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: • C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат • А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох • В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу • В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу • А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
 * //Теория://**

Уравнение прямой по точке и вектору нормали
**Определение.** В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.



Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1, y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:  Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: если х 1 ≠ х2 и х = х 1, если х 1 = х2. Дробь = k называется **угловым коэффициентом** прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить, то полученное уравнение называется **уравнением прямой с угловым коэффициентом** **k**.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. **Определение.** Каждый ненулевой вектор ( α1, α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или, где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент //а// является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а //b// – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число, которое называется **нормирующем множителем** , то получим xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Угол между прямыми на плоскости
**Определение.** Если заданы две прямые y = k1 x + b1, y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как. Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2. **Теорема.** Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

перпендикулярно данной прямой
**Определение.** Прямая, проходящая через точку М1 (х1, у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой
**Теорема.** Если задана точка М(х0, у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как. **Доказательство.** Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 : (1) Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: Теорема доказана.

//**Практические задания:**//

Средняя математическая интернет-школа [] Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями []
 * //Полезные ресурсы://**

Средняя математическая интернет-школа [] Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Высшая математика []
 * //Источники информации://**