Метод+Гаусса

//** Определение .**// Элементарные преобразования системы уравнений — это: //** Определение .**// Переменная xi называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной. //** Теорема .**// Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную. Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему. Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
 * Определение .** Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.
 * 1) Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
 * 2) Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
 * 3) Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.
 * во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;


 * во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;


 * в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Итак, метод Гаусса состоит из //следующих шагов//:
 * 1) Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;
 * 2) Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;
 * 3) Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
 * 4) Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
 * 1) Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
 * 2) Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.


 * //Примеры решения матриц методом Гаусса://**

Павел Бердов. Уроки математики [] Высшая математика для студентов[| http://www.cleverstudents.ru/solving_systems_Gauss_method.html]
 * //Источники информации://**


 * //Полезные ресурсы://**

Решение задач по математике онлайн [|http://www.reshmat.ru/Gauss.html?step=2&siz] [|eA=2&sizeB=2&a11=5&a12=-3&b1=4&a21=-3&a22=-5&b2=-21] Информационный портал []

media type="custom" key="21559188"