Непрерывные+случайные+величины

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется **//непрерывной//**. Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин. Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют **//смешанной//**. Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется **//законом распределения//** данной случайной величины. Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:
 * //Теория//**
 * //Случайной//** называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: //х//1, //х//2, …, //хn//. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события //Х// = //хi// (//i// = 1, 2, …, //n//) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, //р//1 + //р//2 + … + //рn// = 1.
 * //Х// || //х//1 || //х//2 || … || //хn// || … ||
 * //Р// || //р//1 || //р//2 || … || //рn// || … ||

Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1<x2, то Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием[x1,x2], ограниченной сверху кривой
 * [[image:http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/3_3/eqn06.gif]] ||  ||

Так как

, то Пользуясь формулой, найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения  непрерывной: Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема. На основании формулы, полагая x1=x, , имеем
 * [[image:http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/3_3/eqn11.gif]] ||  ||
 * [[image:http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/3_3/eqn13.gif]] ||  ||



В силу непрерывности функции F(х) получим, что



Следовательно



Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю. Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

,,  , Имеют одинаковую вероятность, т.е.



В самом деле, например,



так как

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы. 1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода //Мo//, медиана //Мe//, математическое ожидание //М(Х//)). 2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия //D(X//), среднее квадратическое отклонение σ(//х//)). 3. Характеристики формы кривой //y// = φ(//x//) (асимметрия //As//, эксцесс //Ех//). Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.


 * //Математическое ожидание//** случайной величины //Х// указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения //Х//. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

. (2.4) Для непрерывной случайной величины //Х//, имеющей заданную плотность распределения φ(//x//) математическим ожиданием называется следующий интеграл:

. (2.5) Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует. Свойства математического ожидания: 1. //М(С//) = //C//, где //С// = //const//; 2. //M(C//∙//Х) = С//∙//М(Х//); 3. //М(Х// ± //Y) = М(Х//) ± //М(Y//), где //X// и //Y// – любые случайные величины; 4. //М(Х//∙//Y//)=//М(Х//)∙//М(Y//), где //X// и //Y// – независимые случайные величины. Две случайные величины называются **//независимыми//**, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.


 * //Модой//** дискретной случайной величины, обозначаемой //Мо//, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4


 * //Медианой//** непрерывной случайной величины //Х// называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше //Ме//, т.е.

//Р(Х// < //Ме) = Р(X// > //Ме//) Из определения медианы следует, что //Р(Х//<//Ме//) = 0,5, т.е. //F// (//Ме//) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(//x//) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 2.5). В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием (рис. 2.6).

Рис. 2.5 Рис. 2.6


 * //Дисперсией//** случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания

//D(X//) = //M(X// –//М(Х//))2. Дисперсию случайной величины //Х// удобно вычислять по формуле: а) для дискретной величины

; (2.6) б) для непрерывной случайной величины

j(//х//)d//x// – [M(//X//)]2. (2.7) Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. //D(C//) = 0, где //С// = //const//; 2. //D(C//×//X//) = C2∙//D(X//); 3. //D//(//X//±//Y//) = //D//(//X//) + //D//(//Y//), если //X// и //Y// независимые случайные величины.

σ(//X//) =. Заметим, что размерность σ(//х//) совпадает с размерностью самой случайной величины //Х//, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.
 * //Средним квадратическим отклонением//** случайной величины //Х// называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

media type="custom" key="26263678"

Онлайн-учебник по математике [] Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, высшей математике, физике, программированию []
 * //Полезные ресурсы://**

[] [] []
 * //Источники://**

media type="custom" key="21789886"