Дифференциальные+уравнения+1-го+порядка

//**Дифференциальным уравнением 1-го порядка**// называется уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, равен 1.


 * //1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными//** называется уравнение вида: φ(x) dx = ψ(y) dy.

//**2.**// Функция f (x, y) называется //однородной функцией m-го измерения//, если f (λx, λy) = f (x, y). //Решение//:
 * //Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка//** называется уравнение вида: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, где P (x, y) dx и Q (x, y) dy - однородные функции одинакового измерения.
 * 1) Привести к виду: y' = f (x, y), где f (x, y) - однородная функция нулевого измерения.
 * 2) С помощью замены y = ux, где u - новая неизвестная функция, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

//Методы решения//:
 * //3. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка//** называется уравнение вида: [[image:лроа.jpg]]или [[image:фыв.jpg]].
 * Метод вариации произвольных постоянных:
 * 1) Приравнять правую часть к нулю: [[image:matmetod/еук.jpg]] и решить уравнение с разделяющимися переменными.
 * 2) Подставить вместо С некую функцию от x и найти решение уравнения.
 * Применение подстановки y = uv, где u и v - функции от x, 1) получим уравнение: [u' + p (x) u] v + v' u = q (x). 2) Приравнять выражение в квадратных скобках к нулю и найти u (x). 3) Из [u' + p (x) u] v + v' u = q (x) найти v. 4) Из y = uv найти y.

Уравнение такого вида тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (x, y), такая, что dU = P dx + Q dy, то есть и.
 * //4. Уравнением в полных дифференциалах//** называется уравнение вида: P dx + Q dy = 0, если [[image:ыр.jpg]], где P = P (x, y) и Q = Q (x, y) - непрерывные функции.

//Общее решение линейного однородного уравнения// имеет вид:, где - линейно независимая система решений. //Общее решение линейного неоднородного уравнения// имеет вид:, где y* - частное решение неоднородного уравнения.
 * //5. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка//** называется уравнение вида: [[image:пыра.jpg]], где [[image:реав.jpg]]- непрерывные функции.

//Решение// уравнения будем искать в виде:. Уравнение называется //характеристическим уравнением//. Если корни характеристического уравнения действительны, то общее решение уравнения запишется в виде:. Если корни характеристического уравнения - комплексные числа:, где , тогда решени имеет следующий вид:.
 * //5.1 Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами//** называется уравнение вида: [[image:кпва.jpg]], где [[image:рпаы.jpg]]- некоторые постоянные.

//**5.2 Линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами**// называется уравнение вида:, где - некоторые постоянные. //Общее решение неоднородного уравнения// равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:. Если, где - многочлен m-й степени, то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно искать в виде: , где - многочлен m-й степени с неопределёнными коэффициентами; s = 0, если γ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня. Если, где - многочлены степени и , тогда частное решение можно искать в виде: , где ; s = 0, если γ + iβ не является корнем характеристического уравнения, иначе - s равно кратности этого корня.


 * //Примеры решения некоторых задач можно найти здесь:// **

Учебное пособие под ред. В. И. Ермакова "Сборник задач по высшей математике для экономистов"
 * //Используемый источник:// **

Высшая математика для заочников и не только [] Сайт самостоятельной студенческой работы []
 * //Полезные ресурсы://**

media type="custom" key="21783740"