Векторы

= Векторы = Обозначения: Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

Сумма векторов: (правило треугольника) (рис. 1.22); (правило параллелограмма) (рис. 1.23); (правило многоугольника); (правило параллелепипеда, - диагональ). Разность векторов: Формула вычитания векторов: (рис. 1.24). Признак коллинеарности векторов:

//Законы векторной алгебры// Для любых векторов и любых чисел  справедливы равенства

//Координатные формулы// Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей;  - координаты вектора ;  - координаты вектора ;   или   Тогда: Если - начало вектора,  - его конец, то

//Скалярное произведение//

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами  и ; если  либо, то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например,  есть величина проекции вектора  на направление вектора.

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

//Скалярное произведение в координатах//

Если  то

//Угол между векторами//



//Векторное произведение//

Векторное произведение векторов и  - вектор, обозначаемый   или  для когорого:

1) ( - угол между векторами  и, );

2)

3) тройка, , - правая.

Свойства векторного произведения:     если, то  равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах  и. //екторное произведение в координатах// Если, то или или В частности

//Некоторые соотношения// (двойное векторное произведение), (тождество Якоби),

//Смешанное произведение трех векторов// Определение: Свойства смешанного произведения:    - компланарны. Если //V// - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, и , то  если тройка  правая, и  если тройка левая. //Смешанное произведение в координатах// Если   то

//Проекции вектора на ось// Обозначения: - проекции вектора  на ось //l//;  - величина проекции вектора  на ось //l//. Свойства проекций: Составляющие (компоненты) вектора (рис. 1.25): Координаты вектора :   ( - углы, образуемые вектором  с положительными направленями осей координат //Ox//, //Oy//, //Oz// прямоугольной декартовой системы координат). ,, называются направляющими косинусами вектора     где   Если  - единичный вектор в направлении , то

Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Помощь студентам в высшей математике []
 * //Полезные ресурсы://**