Кольца+и+поля

//__Теория__//
Кольцом называется множество элементов, на котором определены две операции – сложение и умножение, и в  выполняются следующие аксиомы:
 * 1) R.1. Множество [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image001.gif width="16" height="17"]] является аддитивной абелевой группой.
 * 2) R.2. Для любых двух элементов [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image002.gif width="13" height="15"]] и [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image003.gif width="13" height="19"]] из [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image001.gif width="16" height="17"]] определено их произведение: [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image004.gif width="80" height="19"]] (замкнутость операции умножения).
 * 3) R.3. Для любых трех элементов [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image002.gif width="13" height="15"]], [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image003.gif width="13" height="19"]] и [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image005.gif width="12" height="15"]] из [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image001.gif width="16" height="17"]] выполняется ассоциативный закон, т.е. [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image006.gif width="88" height="23"]] и [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image007.gif width="145" height="23"]].
 * 4) R.4. Для любых трех элементов [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image002.gif width="13" height="15"]], [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image003.gif width="13" height="19"]] и [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image005.gif width="12" height="15"]] из [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image001.gif width="16" height="17"]] выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image008.gif width="115" height="23"]] и [[image:http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_tec/files.book&file=tec_77.files/image009.gif width="115" height="23"]]

Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых cправедливо равенство (ab)c = a(bc), то кольцо называется //ассоциативным//. Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых справедливо равенство ab = ba, то кольцо называется //коммутативным//. Если существует единица, т.е. такой элемент 1, что для любого справедливо равенство 1а = а1 = а, то кольцо называется //кольцом с единицей//.

При обычных операциях сложения и умножения кольцом является: 1. Множество целых чисел. 2. Множество рациональных чисел. 3. Множество действительных чисел. 4. Множество, состоящее лишь из одного числа 0. 5. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу //n//.

Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется //полем//. Подполем называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в //поле//.

Примеры полей.
 * 1) Рациональные числа.
 * 2) Комплексные числа.
 * 3) Вещественные числа.
 * 4) Множество комплексных чисел //a// + //bi// с любыми рациональными //a//, //b//.
 * 5) Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

Как всякое кольцо, поле является группой относительно операции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения. Характеристика поля — наименьшее положительное целое //n// число такое, что сумма //n// копий единицы равна нулю: n * 1 = 0 Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.

Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Научная библиотека естественно-научных изданий []
 * //Полезные ресурсы://**

[] [] []
 * //Источники://**

media type="custom" key="21559228"