Комплексные+числа

Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др. Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i2= –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Основные договорённости: 1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0i или a – 0i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5. 2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi. 3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a=c и b=d. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами. Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты. ( ac – bd ) + (ad + bc )i. Это определение вытекает из двух требований: 1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены, 2) число i обладает основным свойством: i^2 = –1. П р и м е р. ( a+ bi )( a – bi )=. Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу. Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: (a+bi)^2=a^2+2abi+b^2 Алгебраическая форма: //z// = //x// + //iy// Тригонометрическая форма: //z// = //r// (cos//j// + isin//j//) Показательная форма: e=cos(f)+sin(f)
 * Сложение**. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + (b+ d )i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
 * Вычитание**. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a –c ) + (b –d )i.
 * Умножение**. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:
 * Деление**. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di(делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
 * Возведение в степень.** Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения (а+b)^2=a^2+2ab+b^2.
 * Формы представления комплексных чисел.** Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы представления комплексных чисел.



Полезные ресурсы: Средняя математическая интернет-школа [] Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Подробный теоритический материал по данной теме []