Собственные+значения+матрицы

Если в квадратной матрице выполняется равенство  (где,  -ненулевой столбец и  – число), то число  называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы  порядка , а столбец  называется собственным вектором (столбцом) матрицы  соответствующий собственному значению. Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений уравнения, где  – независимая переменная. Если раскрыть определитель, то получится многочлен -й степени относительно :





этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты зависят от элементов матрицы, причем. Уравнение  называется характеристическим уравнением матрицы . Множество всех собственных векторов матрицы, принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений. Пример1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы 

Решение. Составим характеристическое уравнение: 

Отсюда собственные числа данной матрицы: 

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Подставим собственное число в систему однородных уравнений  и найдем ее нетривиальное решение. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=1 решение. Пусть, тогда. Получаем собственный вектор <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Рассмотрим собственное значение <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Положим, тогда. Получаем собственный вектор <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Пример2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Решение. Составим характеристическое уравнение: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Собственные числа данной матрицы: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Найдем собственные векторы, соответствующие. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Найдем собственные векторы, соответствующие. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">[|Ранг матрицы] r=2, ФСР содержит (n-r)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Полезные ресурсы: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i-sobstvennye-znacheniya-matritsy <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node80.htm <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://mathportal.net/index.php/vektornaya-algebra/sobstvennye-chisla-i-vektora-matrits-metody-ikh-nakhozhdeniya <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://www.mathprofi.ru/sobstvennye_znachenija_i_sobstvennye_vektory.html

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">Калькуляторы: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/matrix/sobstvennyie/ <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://www.mathforyou.net/MEig.html <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://math.semestr.ru/gauss/ownvectors.php <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">http://matrixcalc.org/vectors.html