Числовая+последовательность

**ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ** – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или. Значения называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности. **Способы задания последовательностей.** Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны **три: аналитический, описательный и рекуррентный**. 1. Последовательность задана **аналитически**, если задана формула ее n-го члена: . Пример. – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, … 2. **Описательный способ ** задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, ...,1 Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. **Рекуррентный способ ** задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности. Пример 1.  если n = 2, 3, 4,….

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">постоянной **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Последовательность называется **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">неубывающей, **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;"> если для любого n будет справедливо "каждый предыдущий член меньше или равен следующему". <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Невозрастающие и неубывающие последовательности называются **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">монотонными **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Последовательность называется **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">ограниченной сверху, **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;"> если существует M, что все члены последовательности меньше этого числа <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Последовательность называется **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">ограниченной снизу, **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;"> если существует M, что все члены последовательности больше этого числа. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Если последовательность имеет ограничение и сверху и снизу, то она называется **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">ограниченной **<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">. Если нет - неограниченной. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Если последовательность сходится к какому-то числу, значит она имеет **предел**.

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Это определение означает, что a есть **предел числовой последовательности**, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a-, a+ ). Последовательность, имеющая предел, называется **сходящейся**; в противном случае – **расходящейся** или **бесконечно** **большой**. Последовательность называется **бесконечно малой**, если ее предел равен нулю. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">**Примеры:** <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">**Источники информации:** <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Образовательный портал ФИЗМАТкласс <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">[] <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Средняя математическая интернет-школа <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">[]

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">**Полезные ресурсы:** <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">Сайт цифровых учебно-методических материалов Центра Образования ВГУЭС <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; line-height: 1.5; text-align: justify;">[]