Предел+функции

**Предел фу́нкции** — одно из основных понятий математического анализа.

Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие [|определения предела последовательности] дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. [|Пределы функции] применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

**Раскрытие неопределённостей** — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/1/2/6/126333137d5dc12d573e9963f64be160.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/2/6/e/26ea0473a6b118c9e3bad5b0337f78e2.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/8/6/9/8697cf36b40c1eabe7e786f2e7965888.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/a/1/b/a1bda8db240323299bf26fd1ed9bac13.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/7/9/2/792fcc8c60fff72dad7929653885d002.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/b/a/6/ba6c6c6c412ea1d062f4467356cc4013.png]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/f/d/c/fdcd6954d6263fa2f89e6c9ff214160f.png]] ||

Раскрывать неопределенности позволяет:
 * упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
 * использование замечательных пределов;
 * применение правила Лопиталя;
 * использование таблицы эквивалентных бесконечно малых.

**Неопределённость вида ** <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример 1. Раскрыть неопределённость и найти предел. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на : <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу". <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример 2. Раскрыть неопределённость и найти предел. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:  <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса". <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Неопределённость вида <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики: <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений): <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции: <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел: <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

<span style="display: block; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%; text-align: justify;">

//**Примеры решения задач на данную тему:**// http://www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html @http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mapred @http://function-x.ru/lim1.html

//**Калькуляторы:**// @http://www.webmath.ru/web/prog58_1.php @http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/predel/ [] @http://www.mathforyou.net/Limit.html @http://www.matcabi.net/limit.php @http://www.reshim.su/blog/1-0-5

@http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_7_0.php Сайт, посвящённый математике [] Высшая математика для заочников и не только []
 * //Полезные ресурсы:// **

media type="custom" key="25569109"