Несобственный+интеграл

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций. Пусть f ( x ) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [ a ; ξ], где ξ ≥ a. Если существует конечный предел то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [ a ; +∞), а несобственный интеграл [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725110-2.gif align="middle"]] сходится:

Если не имеет конечного предела приξ → +∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл Так, интеграл сходится и равен  Этот ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX. Пусть функция f ( x ) определена на конечном промежутке [ a ; b ) и интегрируема на отрезке [ a ; ξ] при любом [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725261-8.gif align="middle"]] Если существует конечный предел [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725261-9.gif align="middle"]] то говорят, что несобственный интеграл от функции f ( x ) на промежутке [ a ; b ) сходится:
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725120-3.gif align="middle"]] ||

Если не имеет конечного предела при ξ → b, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной на ( a ; b ]. Если функция f определена на отрезке [ a ; b ] за исключением точки  и интегрируема на отрезках [ a ; ξ] и [η; b ] при любых ξ и η таких, что a ≤ ξ < c < η ≤ b, то несобственный интеграл от функции f на промежутке [ a ; b ] обозначается  и равен
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725281-10.gif align="middle"]] ||

В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что функция f определена на [ a ; b ), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞, и функция f интегрируема на [ a ; ξ] при любом [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725441-15.gif align="middle"]] В этих предположениях несобственные интегралы обладают следующими свойствами:
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725401-14.gif align="middle"]] ||
 * линейность несобственного интеграла:
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725451-16.gif align="middle"]] ||
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725471-17.gif align="middle"]] ||


 * формула Ньютона – Лейбница: если существует конечный предел [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725481-18.gif align="middle"]] то
 * [[image:http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175725501-19.gif align="middle"]] ||

Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями [] Сайт, посвящённый математике []
 * //Полезные ресурсы://**

media type="custom" key="25570548"